11.Funkce

4. září 2007 v 20:47 |  Maturitní otázky - Matematika
11.
Funkce
Definice: Funkce je zobrazení v oboru R, je to množina A uspořádaných dvojic x, y, v nichž podle určitého předpisu je každému x přiřazeno právě jedno y. Množina A se nazývá definiční obor funkce.
Označení definičního oboru: D(f), Df - čteme na ose x
-množina všech hodnot proměnné x, k nimž lze určit funkční hodnoty y
Označení oboru hodnot: H(f), Hf - čteme na ose y
- množina všech funkčních hodnot y
Zápis funkce: y=2x xÎR
f(x)=2x xÎR (funkční hodnota v bodě x=2x)
f:y=2x xÎR
x®2x xÎR (x se přiřazuje 2x)
(y=proměnná, argument fce f; x=funkční hodnota)
Zobrazení funkce: 1) Analytické zadání - viz zápis funkce
2) Grafické zadání - zadáno grafem
3) zadání Výčtem, Tabelární - tabulka, užívá se u konečných množin
Zvláštní typ funkcí: Celá část argumentu x
y=[x] xÎR 2,1=2 2,9=2
Signum argumentu x
y=sgn x xÎR
sgn x= |x|/x pro x¹0
sgn x=0 pro x=0
Rovnost funkcí: Dvě funkce f(x) a g(x) jsou si rovny, jestliže definiční obor funkce f je roven definičnímu oboru funkce g.
"xÎD(f) je f(x)=g(x)
Složená funkce: fce g,f g: u=g(x) D(g)®H(g)¹Æ
f: y=f(x) D(f)®H(g)ÌD(f)
h(x)=f(g(x)) "x=D(h)
h je složená funkce s funkcí g,f přesně v tomto pořadí
h=f o g
Př. h o y=Ö1-x D(h) = (-¥,1>
g: u=1-x D(g)=D(h)=(-¥,1)
f: y=Öu H(g)=<0,¥) (kvůli odmocnině)
®D(f)=<0,¥)
Př. f:x=log x g o f
g:y=-3x

D(f)=(0,¥) D(g)=R

Dg o f=(0,¥) ® y=-3 log x
- f o g -3xÎ(0,¥)
D(f o g)=(-¥, 0) ®y=log (-3x)
Důležité vlastnosti funkce:
  1. Sudá -"xÎD(f); f(-x)=f(x). Její graf je souměrný podle osy y (parabola, kvadratická funkce)
Lichá -"xÎD(f); f(-x)=-f(x). Její graf je středově souměrný podle počátku soustavy (přímka)
  1. Omezení funkce - množině M, která je MÌD(f) lze najít čísla D, H tak, aby pro všechn a x z množiny M platilo, že D£f(x)£H (D - nejmenší číslo, H - největší číslo)
y=x2 D=0, omezená sdola sin, cos - omezená sdola i shora y=sin x
  1. Absolutní (globální) extrémy - je-li aÎM; bÎM; říkáme, že funkce má na množině M maximum v bodě a (minimum v bodě b) právě tehdy, když"xÎM; x¹a (x¹b); f(x)<f(a) (f(x)>f(b)). Extrémem projde jen jednou (ne sin, cos)
  2. Rostoucí funkce:"xÌM; MÌD(f) x1<x2®f(x1)<f(x2)
Klesající funkce: x1<x2®f(x1)>f(x2)
Funkce klesající a rostoucí jsou ryze monotónní na M. Funkce neklesající (nerostoucí) jsou pouze monotónními na M.
  1. Prostá funkce: v D(f)«"x1ÎD(f) Λx1¹x2®f(x1)¹f(x2). Každá funkce, je-li ryze monotónní, je prostá. Obrácená věta neplatí. K prosté funkci se dá vytvořit funkce inverzní, která je také prostá. Značíme ji f-1(x) a vzniká záměnnou proměnných x, y a též jejich obrazů: D(f)=H(f-1); H(f)=D(f-1). Grafy dvojice inverzních funkcí v kartézské soustavě jsou vzájemně souměrné podle osy y=x
  1. Periodická funkce: je to taková funkce, pro kterou existuje číslo p¹0 (perioda) a platí xÎD(f)®(x+p)ÎD(f) Λ f(x+p)=f(x) (sin)
Perioda takové funkce je také každé kp, kde k¹ 0, kÎ Z. Nejmenší kladné p, které je periodou funkce, je tzv. základní (primitivní) perioda.
  1. Klasifikace funkcí: Elementární a neelementární

Elementární jsou algebraické a transcendentní

Algebraické jsou racionální a iracionální
Racionální jsou polynomické a racionálně lomené
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.