24.Logaritmické a exponenciální rovnice

4. září 2007 v 20:56 |  Maturitní otázky - Matematika
24.
Logaritmické a exponenciální rovnice

Logaritmickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou xÎ R

Nejjednodušším případem logaritmické rovnice je rovnice, kde a > 0, (a¹1®log1 není definovaný), bÎR, již má řešení x = a b

Složitější logaritmickou rovnici obvykle řešíme tak, že ji upravíme na rovnici tvaru

loga f(x) = loga g(x), kde a >0, a¹ 0, kde výrazy f(x), g(x) vyjadřují funkční hodnoty dvou daných funkcí f,g proměnné x, z nichž jedna může být speciálně konstanta. Protože logaritmická funkce je prostá (rostoucí pro a > 1, klesající pro 0 < a < 1), z logaritmické rovnice plyne rovnice f(x) = g(x). Tyto rovnice jsou však ekvivalentní jenom při splnění podmínek: f(x) > 0 a g(x) > 0. Pokud je nestanovíme předem, musí být nutnou součástí řešení zkouška.
Řešení složitějších logaritmických rovnic též často usnadňuje vhodná substituce, např. y = loga x (a > 0, a¹1), kterou se převede logaritmická rovnice na algebraickou rovnici.
Exponenciální rovnicí nazýváme každou rovnici, ve které je neznámá (xÎR) v exponentu nějaké mocniny.
Základní tvar je a f(x) = b g(x); a > 0, b > 0, kde výrazy f(x), g(x) vyjadřují funkční hodnoty daných dvou funkcí f,g proměnné x, z nichž jedna může být speciálně konstanta. Tuto rovnici řešíme takto:
a) je-li a = b¹1, pak vzhledem k tomu, že exponenciální funkce f1: y = ax pro a > 0, a¹1 je prostá v R (rostoucí pro a > 1, klesající pro 0 < a < 1), plyne z exponenciální rovnice ekvivalentní rovnice f(x) = g(x)
b) je-li a¹b, pak rovnici převedeme logaritmováním na tvar f(x) . log a = g(x) . log b
Složitější exponenciální rovnice se řeší převedením na uvedený základní tvar a eventuálně na algebraickou rovnici, přičemž se často užívá substituce tvaru ax = y (a > 0, a¹1)

Účelem je dostat na obou stranách stejné mocniny

Důležité vzorečky:
loga y ® y = ax loga a = 1 loga 1 = 0 x =
logz ab = logz a + logz b logz = logz a - logz b logz a r = r. logz a
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.