3.Logická výstavba matematiky

4. září 2007 v 20:39 |  Maturitní otázky - Matematika
3.

Logická výstavba matematiky

Pojmy: Axiom (postulát), vlastnosti axiomů, definice, věta, hlavní metody důkazů

Axiom (postulát) - výchozí matematický výrok, který se prohlásí za pravdivý bez dokazování (fakt - tráva je zelená). Obsahuje základní primitivní pojmy, které se nedefinují (pokládají se za zavedené soustavou axiomů). Nelze je odvodit z něčeho jednoduššího.
Vlastnosti soustavy axiomů
bezespornost - ze soustavy axiomů není možné vyvodit žádný výrok a zároveň negaci
úplnost - ze soustavy axiomů je možné vyvodit pravdivost nebo nepravdivost libovolného matematického výroku, který není axiomem
nezávislost - nelze odvodit jeden axiom z ostatních axiomů (každý je nezávislý na ostatních)
Euklides vyjmenoval všechny axiomy (14). 2 části (Aitemata - postuláty, Koinai ennoiai - všeobecně uznávané pravdy, zásady). Nezná slovo přímka - používal slovo Eutheia (rovná konečná čára, která jde podle potřeby prodloužit nebo zkrátit). Dokonalý axiomatický systém, Planimetrii, vypracoval David Hilbert na přelomu 19. a 20. století.
Definice - určení nově zaváděného pojmu pomocí pojmů již zavedených.
Ze soustavy axiomů s použitím definic se struktura matematiky buduje pomocí matematických vět.
Matematická věta (poučka, teorém) - matematický výrok, který na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět přináší nová tvrzení týkající se právě studovaného objektu. Specifický příklad vět jsou pravdila (Binomická, Pythagorova věta).
Pomocné věty - Lemmy - něco říkají
Věta se musí dokázat, obsahuje nová tvrzení!
Obecná věta - " x Î D; A(x) Þ B(x)
Existenční věta - $ x Î D; A(x) Þ B(x)
(Př. Nultá mocnina neexistuje - 0)
Individuální věta - týkají se jediného objektu skupiny objektů množiny
(Př. Trojúhelník se stranami 3,4,5 je pravoúhlý)
Hlavní metody důkazů
1) přímý - implikace A Þ B se provádí pomocí řetězce pravdivých implikací.
A(x) Þ A1 (x1) Þ A2 (x2) ..... Þ B(x)
" n Î N; n je sudé Þ n2 je sudé
n je sudé Þ $ k Î N; n=2k Þ n2=4k2Þ n2=2.2k2Þ n je sudé
A1(x) A2(x) A3(x) B(x)
2) nepřímý - implikace A Þ B provádíme jako přímý důkaz její obměny B' Þ A', neboť obě jsou ekvivalentní
A(x) Þ B(x) dokážeme přímo
Ø B(x) Þ Ø A(x) má s původní stejné pravdivostní hodnoty
obměna původní věty
Není-li n sudé číslo není ani n2 sudé číslo
n liché Þ n=2k+1
3) důkaz sporem - Výroku V (např. AÞ B) se provádí tak, že se daný výrok V neguje a pomocí řetězce implikací se dospěje k logickému sporu. Ze sporu vyplývá, že negované tvrzení V' neplatí, musí tedy platit původní výrok V.
A(x) Þ B(x) neplatí
n2 je sudé Þ n je sudé
$ n2 sudé Ù n liché
n2 - liché
n liché Þ n2=(2k+1)2Þ n2=2(2k2+2k)+1 Þ n2 je liché (spor)
4) důkaz matematickou indukcí - používá se pro výroky, kde proměnné jsou prvky množiny m
a) indukční předpoklad - dokážeme že věta platí pro n=n0 (výrok platí pro n0 - nejmenší možné přirozené číslo)
b) indukční krok - dokážeme pro každé přirozené číslo k, které je ³ n0 jestliže platí výrok pro k, pak také platí výrok pro k+1. [V(k)=V(k+1)]
nÎ N
1+2+ .... +n=1/2 n (n+1)
a) 1=1/2.1 (1+1) b)1+2+ ... +k=1/2k (k+1) .....Sk
1=1 platí 1+2+ ... +k+(k+1)=1/2(k+1)(k+1+1) ...(Sk+1)
Sk+1=Sk+(k+1)
à 1/2 (k+1)(k+2)=1/2 k(k+1)+(k+1) [(k+1)(1/2 k+1)]
1/2 (k+2)=1/2 k+1
1/2 k+1=1/2 k+1
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.