30.Shodná zobrazení (osová, středová souměrnost,

4. září 2007 v 21:01 |  Maturitní otázky - Matematika
30.
Shodná zobrazení (osová, středová souměrnost,
posunutí, otočení a jejich skládání)
Přiřadíme-li každému bodu X roviny právě bod X´ téže roviny, dostaneme množinu uspořádaných dvojic [X;X´], která se nazývá goniometrické zobrazení v rovině. Bod X je vzor, bod X´je obraz. Zapisujeme X®X´.
- Pokud obraz bodu splyne s jeho vzorem, nazývá se bod samodružný bod geometrického zobrazení. Zobrazení, ve kterém je každý bod samodružný se nazývá identita.
- Obrazem útvaru U v daném zobrazení je U´. Zapisujeme UU´. Jestliže obrazem útvaru U je útvar U´, který se svým vzorem U splývá, říkáme, že útvar U´= U je samodružný útvar daného zobrazení (body X´útvaru U nemusí splývat se svým vzorem X)
- Pokud lze útvary U1 U2 přemístit tak, že se navzájem kryjí, nazýváme je shodnými útvary a zapisujeme je U1 = U2

x = x' ; yÎH(f) ; xÎD(f)

Inverzní zobrazení: v případě libovolného prostého zobrazení f existuje k němu přávě jedno takové prosté zobrazení, které ke každému prvku y přiřazuje jeho vzor.

Shodná zobrazení

Geometrické zobrazení v rovině nazýváme shodným zobrazením (shodností), je-li každému bodu X roviny přiřazen právě jeden obraz X´tak, že pro každé dvě uspořádané dvojice[X;X´]a [Y;Y´] vzorů a obrazů platíêX'Y'ê=êXYê. Každé shodné zobrazení je prosté
Přímá shodnost (Identita I ,Posunutí T(translace), Otočení R(rotace),středová souměrnost S) zobrazí každý orientovaný úhel v souhlasně orientovaný úhel.
Nepřímá shodnost (osová souměrnost O) zobrazí každý orientovaný úhel v úhel opačně orientovaný.
Přímá shodnost Nepřímá shodnost
Jsou-li dva útvary U a U´ shodné, pak lze najít takové shodné zobrazení, že útvar U převede na útvar U´.
Identita I je zvláštním případem shodnosti, při němž je obrazem každého bodu X rovinyje tentýž bod X´=X.
Posunutí (translace) T je přímá shodnost, která je jednoznačně určena nenulovým vektorem posunutí u=AA´. Každému bodu roviny X je přiřazen jeho obraz X´tak, že platí XX´=u.
- Velikost (délka) vektoru posunutí určuje délku posunutí, směr vektoru posunutí určuje směr posunutí (tzn. úsečky XX´a AA´jsou stejně dlouhé, rovnoběžné a souhlasně orientované).
- Jelikož u¹o, nemá posunutí žádné samodružné body
- Samodružnými přímkami jsou všechny rovnoběžky s vektorem posunutí.
Otočení (rotace) R je shodné zobrazení, jednoznačně určené středem otočení S a orientovaným úhlem otočení a, jehož velikost je z intervalu (0°;360>. Bodu S je přiřazen týž bod S´= S každý bod roviny X¹S má obraz X´, pro který platí êSXê=êSX'êa XSX´ = a.
- Obraz bodu X leží na kružnici otočení k(S;r=SX), přičemž jeho poloha je dána orientovaným úhlem otočení: XSX´=a.
- Otočení má proa= 360° všechny body samodružné, jinak má jediní samodružný bod S.
- Samodružné přímky proa¹180° aa¹360° nejsou žádné, proa= 180° jsou samodružné všechny přímky procházející středem S, proa= 360° jsou samodružné všechny přímky roviny.
- Otočení vznikne složením dvou osových souměrností s různoběžnými osami.
Středová souměrnost se středem S je přímá shodnost, která středu S přiřazuje týž bod S´=S a každému bodu roviny X¹S přiřazuje takový bod X´, že bod S je středem úsečky XX´.
- Středová souměrnost je jednoznačně určena středem souměrnosti S. Lze ji považovat za otočení určené středem otočení S a úhlem otočenía= + 180°.
- Jediným samodružným bodem středové souměrnosti je její střed S
- Samodružnými přímkami středové souměrnosti jsou všechny přímky které procházejí středem souměrnosti S.
Osová souměrnost O s osou o je nepřímá shodnost, která je jednoznačně určená osou souměrnosti O. Leží-li bod X na ose o, pak jeho obraz X´= X. Obrazem bodů XÏo jsou body X´. které leží na kolmici k ose o, přičemž úsečka XX´ je osou půlena.
- Samodružnými body osové souměrnosti jsou právě všechny body osy souměrnosti
- Samodružnými přímkami osové souměrnosti jsou osa o a všechny přímky k ose o kolmé. Obrazem přímky p rovnoběžné s osou o je rovnoběžka p´s osou souměrnosti. Obrazem přímky qêêo je přímka q´êêo; průsečík přímek q a q´leží na ose o.
Složením dvou přímých nebo dvou nepřímých shodností vznikne přímá shodnost.
Složením přímé a nepřímé shodnosti vznikne nepřímá shodnost.
- Útvary, pro které existuje osová souměrnost, v níž je útvar samodružný nazýváme osově souměrné útvary např.:obdélník, rovn. lichoběžník, rovn. trojúhelník)
- Útvary, k nimž existuje středová souměrnost, v níž je daný útvar samodružný se nazývají středově souměrné útvary (např. čtverec, kružnice)
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Komentáře

1 ...???...!!! ...???...!!! | 14. května 2009 v 8:19 | Reagovat

sem to pochopila ty jo..xD
to sou divy..xD
ne ale fagt..xD
z tohohle by to pochopil i debil..xD
(omluva tomu kdo to nepochopil..)xD

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.