31.Podobná zobrazení (podobnost, stejnolehlost)

4. září 2007 v 21:02 |  Maturitní otázky - Matematika
31.
Podobná zobrazení (podobnost, stejnolehlost)
Prosté zobrazení v rovině nazýváme podobným zobrazením nebo krátce podobností, právě když každé dvojici bodů X, Y roviny přiřazuje jako obrazy takové body X', Y' (X®X'; Y®Y') že pro každé dvě uspořádané dvojice[X;X']a[Y;Y']vzorů a obrazů platí: çX'Y'ç= kçXYç, kde k je konstanta zvaná koeficient podobnosti.
Zvláštním případem podobnosti je pro k = 1 shodnost
Je-li k >1 nazývá se podobnost zvětšení, pro 0 < k < 1 zmenšení
Dva útvary U a U' nazýváme podobnými, je-li možné najít podobné zobrazení, které převádí útvar U v útvar U'. Píšeme U~U'
Kritéria podobnosti trojúhelníků:
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže:
a) se shodují ve dvou úhelch (uu)
b) se rovnají poměry délek příslušných stran a jsou-li shodné úhly těmito stranami sevřené (sus)
c) jsou si rovny poměry délek dvou stran a rovají se velikosti úhlů proti větší z nich (Ssu)
Velikost obsahů podobných obrazům s poměrem k: Su2 = k2. Su1
Velikost povrchů podobných těles: St2 = k2. St1
Velikost objemů podobných těles: t2 = k3. Vt1
V praxi využíváme podobnost k zvětšování a zmenšování geometrických útvarů, konstrukcí plánů a map, dělení úseček v daném poměru, při důkazových úlohách atd.

Velmi významným případem podobného zobrazení v rovině je stejnolehlost označovaná H (S, ) se středem stejnolehlosti S a s koeficientem stejnolehlosti [kapa]( ÎR; ¹0), která bodu S přiřazuje obraz S' = S a bodu X¹S přiřazuje obraz X' takový, že platíçSX'ç=ç ç.çSXç. Každá stejnolehlost s koeficientem je podobnost s poměrem podobnosti k =ç ç
Je-li = -1 jedná se o středovou souměrnost, pro = 1 o identitu
Pro ¹1 má právě jeden samodružný bod, jímž je střed stejnolehlosti S
Je-li = 1 jsou v dané stejnolehlosti samodružné všechny body rovniny
Útvar U a jeho obraz U' ve stejnolehlosti H(S; ) nazýváme útvary stejnolehlé podle středu S. Je-li ç ç> 1 je útvar U' zvětšený, proç ç< 1 zmenšený vzhledem k útvaru U
Základní vlastnosti stejnolehlosti:
1) Obrazem libovolné přímky p je v každé stejnolehlosti H(S; ) přímka p' s danou přímkou rovnoběžná
2) Obrazem libovolné úsečky AB je v každé stejnolehlosti H(S; ) úsečka A'B', pro kterou platí: ABççA'B'ÙçA'B'ç=ç ç.çABç. Každé dvě rovnoběžné úsečky, které nejsou shodné, jsou stejnolehlé dvěma způsoby.
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.