4.Číselné obory

4. září 2007 v 20:40 |  Maturitní otázky - Matematika
4.
Číselné obory
Pojmy: základní pojmy, číselný obor, základní věty o operacích, absolutní hodnota
NÌN0ÌZÌQÌRÌC
N - přirozená čísla - kladná, celá čísla bez nuly
N0 - přirozená čísla včetně nuly
Z - celá čísla - kladná i záporná
Q - racionální čísla - desetinná čísla, zlomky
R - reálná čísla - všechna čísla,Ö, 2,p...
C - komplexní čísla - odmocnina ze záporného čísla
Základní pojmy: vztah: <;>; =
: operace: a) základní +,´ sčítanec + sčítanec = součet
činitel´ činitel = součin
b) inverzní základní -, : menšenec - menšitel = rozdíl
dělenec : dělitel = podíl
c) (-a) číslo opačné k číslu a
1/a číslo převrácené k číslu a
Öa číslo odmocněné k číslu a
a2 číslo umocněné k číslu a
Číselný obor: Množina všech čísel určitého druhu, v němž je bez omezení definováno sčítání a násobení.
Základní věty o operacích: Komutativnost a+b=b+a (záměna sčítanců nebo činitelů)
a.b=b.a
Asociativnost (a+b)+c=a+(b+c)
(a.b).c=a.(b.c)
Distributivnost (a+b).c=ac+bc (roznásobování závorky)
ac+bc=c(a+b) (vytýkání)
číslo je: kladné - a>0

záporné - a< 0

nekladné - a£ 0
nezáporné - a³0
Absolutní hodnota: ½a½- vzdálenost čísla od nuly (nalevo i napravo)
½a½=a ..... a³0
½a½= -a ..... a<0
½-a½=½a½
½a+b½£½a½+½b½
½a-b½=½b-a½
½a.b½=½a½.½b½
½a/b½=½a½/½b½

Přirozená čísla

- čísla kladná (1,2,3..)
- obor přirozených čísel označovaný N je taková množina reálných čísel, která obsahuje číslo 1 a s každým číslem n číslo n+1, ale již žádná jiná čísla neobsahuje.
- platí zde princip matematické indukce: 1) 1ÎP
2) nÎPÞn+1ÎP
N=P
Přirozená čísla zapisujeme v: poziční číselné soustavě o základu 10 - desítková soustava
(může být dvojková, šestnáctková...)
jednotky některých řádů ... 102=100; 1018= trilión
:nepoziční číselné soustavě - římské číslice: I, V, X, L, C, D, M
Kritéria dělitelnosti: číslo a je dělitelné b právě tehdy, když existuje takové přirozené číslo k, že platí a=b.k. To je když číslo a je násobkem čísla b. (b/a) - b dělí číslo a
1/20 - 1 dělí 20
2 - sudé
3 - ciferný součin dělitelný 3 (123=1+2+3=6... 6:3=2)
4 - poslední dvojčíslí dělitelné 4
5 - končí 0 nebo 5
6 - sudé a zároveň dělitelné 3
8 - poslední trojčíslí dělitelné 8
9 - ciferný součin dělitelný 9
10 - na konci 0
11 - 46834678....... každé druhé= 4+8+4+7=23
= 6+3+6+8=23 ... 23=23
výsledek je buď stejný nebo násobkem 11
25 - končí-li 00,25,50,75
100 - končí-li 00
Prvočíslo: má pouze samozřejmé dělitele (dělitelné samo sebou a 1)
1 není prvočíslo ani složené číslo (má kromě samozřejmých dělitelů ještě jiné dělitele)
Rozklad na prvočinitele: Eratosthenovo síto
První číslo nepřeškrtnuté je prvočíslo, najdu násobky toho čísla a vyškrtám. To co zbyde jsou prvočinitele.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Zjištění, zda je číslo prvočíslo: 187 -Ö187£13,7 - prvočísla menší než 13 (13, 11, 7, 5, 3, 2)
Pokud jde číslo 187 vydělit některým z prvočísel£13, pak není č. 187 prvočíslem.
Je-li m>1 složené číslo, pak je dělitelné aspoň jedním prvočíslem p£Öm
Společný dělitel: společný dělitel přirozených čísel n1, n2.... nk nazýváme každé přirozené číslo, jež je dělitelem každého z nich. Ten ze společných dělitelů, který je větší než všichni ostatní dělitelé, se nazývá největším společným dělitelem.
D(n1, n2.... nk) - krátíme jím zlomky
1284
642
2
321
2
107
3
144
72
2
36
2
18
2
9
2
3
3
1
3
D(1284, 144)
1284=2.2.3.107
144=2.2.2.2.3.3
D=2.2.3=12
Eukleidův algoritmus 1284=144.8+132 D=12
144=132.1+12
132=12.11+0
D(900, 588) D(450, -294)
900=588.1+312 450=-294.(-1)+156
588=312.1+276 -294=156.(-1)+138
312=276.1+36 156=138.1+18
276=36.7+24 138=18.7+12
36=24.1+12 18=12.1+6
24=12.2+0 12=6.2+0
D=12 D=6
Soudělná čísla jsou ta, která mají aspoň jednoho společného dělitele D>1
Nesoudělná čísla jsou D(n1, n2.... nk)=1
Společný násobek přirozených čísel n1, n2.... nk nazýváme přirozené číslo, jež je nějakým násobkem každého z nich. Ten ze společných násobků, který je menší než kterýkoliv jený společný násobek, se nazývá nejmenší společný násobek n.
D (n1, n2).n (n1, n2)= n1, n2
n(900,588)
12.n=900.588
529200:12=44100
n=44100

Uzavřenost oborů vzhledem k operacím

Přirozená čísla uzavřená k +, x,
Celá čísla uzavřená k +, x, -
Racionální čísla uzavřená k +, x, -, : (s vyjímkou 0)
2k - sudé číslo
2k+1 - liché číslo
p/q< r/sÛps< qr raciolnální č. = p/q (p - celé č., q - přirozené č.)
p/q = r/sÛps = qr
p/q> r/sÛps>qr
Desetinný rozvoj: ukončený
: neukončený - ryze (2:9=0,22222..)
- neryze (4,9285714285...) --à4,9 - předperioda; 285714 - perioda
Diofantovské rovnice - hledáme číselné dělitele
14x+5y=6 (5y - násobek 5) (odečítám násobky č. 5) 14(5u-1)+5y=6
5y=6-14x (odečtu 5-15x) 70u-14+5y=6
5u=1+1x 5y=20-70u
x=5u-1 y=4-14u
za u dosazujeme celá čísla (obě stejná)
Př. 4x+5y=77 4x+5(1-4u)=77
4x=77-5y 4x+5-20u=77
4u=1-y 4x=72+20u
y=1-4u x=18+5u
obráceně
5y=77-4x 4(5u-2)+5y=77
5u=2+x 20u-8+5y=77
x=5u-2 5y=85-20u
y=17-4u
 

Buď první, kdo ohodnotí tento článek.

Komentáře

1 v v | E-mail | 27. ledna 2008 v 11:00 | Reagovat

thgfb

'

¨

¨

¨

+

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.