7.Variace, permutace, kombinace

4. září 2007 v 20:44 |  Maturitní otázky - Matematika
7.

Variace, permutace, kombinace

Kombinatorika - zabývá se vlastnostmi konečných množin
Kombinační pravidlo součtu - Jsou-li A1, A2,..., An konečné množiny, které mají po řadě p1, p2, ...., pn prvků, a jsou-li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny A1ÈA2È...ÈAn je roven p1+p2+...+pn.
Kombinační pravidlo součinu - Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n2 způsoby atd.., až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby, je roven n1.n2.....nk.
Př. Určete počet všech trojcigerných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.
n1=9 č. (1,2,3,4,5,6,7,8,9) n1.n2.n3=9.9.8=648 možností
n2=9 č. (0,1,2,...)
n3=8 č.

VARIACE

Variace k-té třídy z n prvků bez opakování dané základní n-prvkové množiny je každá uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že záleží na pořadí prvků (a prvky se neopakují).
V(k,n)=
0!=1 1!=1 2!=2.1 3!=3.2.1 atd. n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!=n(n-1)(n-2)(n-3)!=...
Př. Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete:
a) kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře.
V(4,10)=
b) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně.
předseda muž: 6
místopředseda žena: 4 6.4.8.7=1344 a obráceně .2=2688
jednatel: 8
hospodář: 7
c) kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře tak, aby právě jedním z nich byla žena.
P - 4 P - 6 P - 6 P - 6
M - 6 M - 4 M - 5 M - 5 - žena
J - 5 J - 5 J - 4 J - 4
H - 4 H - 4 H - 4 H - 4
4.6.5.4 + 480 + 480 + 480 = 1920
PERMUTACE
Variace n-té třídy z n prvků, pokud n=k. Uspořádaná n-tice sestavená z prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou.
P(n)=n!
Př. Určete, kolika způsoby se v šestimístné lavici může posadit šest hochů, jestliže:
a) dva chtějí sedět vedle sebe
2P (5)=5!=120
b) dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji
2P (4)=4!= 24
KOMBINACE
K-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou a na pořadí prvků nezáleží. Platí pro všechna nezáporná čísla, kde k£ n
K(k,n) = =
Př. Určete kolika způsoby je možno ze dvaceti osob vybrat deset, požadujeme-li, aby mezi vybranými:
a) nebyl pan A -> K(10,19)=
b) nebyli zároveň pánové A,B
c) byl alespoň jeden z pánů A,B k1(9,18); k2(8,18) k1+k2=
VARIACE S OPAKOVÁNÍM
K-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
V'(k,n)=nk
Př. Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo.
V'(5,9)=95=59049
PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM
Uspořádaná k-tice sestavená z prvků tak, že každý se v ní vyskytuje aspoň jednou.
P'(k1,k2, ....kn)= k1,+k2,+ ....+kn
k1! k2! ....kn!
Př. Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, jež lze sestavit z číslic 5 a 7, má-li v každém z nich být číslice 5
a) právě třikrát P'(2,3)=
b) nejvýše třikrát
7x5 ® 0x5 P1'(5,0)= 1+5+10+10=26
7x4 ® 1x5 P2'(4,1)=
7x3 ® 2x5 P3'(3,2)=
7x2 ® 3x5 -||-
c) aspoň třikrát
P1'(3,2)=10
P2'(4,1)=5 10+5+1=16
P3'(5,0)=1
KOMBINACE S OPAKOVÁNÍM
Neuspořádaná k-tice sestavená z prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
K'(k,n)=
Př. 32 karet a) vybrat 4 karty rozlišující se barvami
K'(4,4)=
b)vybrat 4 karty rozlišující se hodnotami
K'(4,8)=
 

2 lidé ohodnotili tento článek.

Nový komentář

Přihlásit se
  Ještě nemáte vlastní web? Můžete si jej zdarma založit na Blog.cz.